Algèbre: Polynômes, théorie de Galois et applications informatiques : cours et exercices PDF

Elles possèdent plusieurs branches telles que : l’arithmétique, l’algèbre, l’algèbre: Polynômes, théorie de Galois et applications informatiques : cours et exercices PDF, la géométrie, la logique mathématique, etc. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l’observation et l’expérience ne s’y portent pas sur des objets physiques.


À l’instar de Monsieur Jourdain et de sa prose, chacun « fait » de la théorie de Galois sans le savoir, parce qu’il a appris un jour que la quadrature du cercle et la résolution par radicaux des équations de degré supérieur ou égal à cinq sont impossibles. Cependant, l’intérêt de la théorie de Galois réside surtout dans la correspondance qu’elle établit entre des corps et des groupes, correspondance utilisée dans de nombreuses applications pratiques. La division du livre en trois parties et le nombre restreint de chapitres rendent l’ensemble clair et précis, et lui confèrent une unité. Partant d’une vue globale du sujet, l’ouvrage garde le souci du concret, en privilégiant les applications. Le calcul formel y trouve une place de choix, et des résultats originaux (théorème de Chebotaryov, étude explicite des codes correcteurs, irréductibilité du permanent…) y sont présentés. Étudiant de Master, candidat au CAPES ou à l’Agrégation, lecteur désireux de découvrir cette théorie, chacun trouvera ici les outils nécessaires à sa progression, ainsi que la démonstration des résultats énoncés et la solution détaillée de tous les exercices.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. Le mot  mathématique  vient du grec par l’intermédiaire du latin. L’usage du pluriel est un héritage de l’époque antique, où le quadrivium regroupait les quatre arts dits  mathématiques  : l’arithmétique, la géométrie, l’astronomie et la musique. Dans l’argot scolaire, le terme  mathématiques  est fréquemment apocopé en  maths , parfois aussi écrit  math . Un portrait d’Euclide de Mégare, qui représente en fait le mathématicien Euclide.

Il est probable que l’homme ait développé des compétences mathématiques avant l’apparition de l’écriture. Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d’abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Une page du traité de Al-Khwarismi.

La recherche mathématique se concentre en Europe. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l’attrait des mathématiques,  à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons . Galilée se rend compte que les mathématiques sont l’outil idéal pour décrire le monde physique, ce qu’on peut résumer en disant que les lois de la Nature sont écrites en langage mathématique. L’algèbre est l’ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu’elles entretiennent entre elles. En un sens très restrictif, l’analyse est la partie des mathématiques s’intéressant aux questions de régularité des applications d’une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d’analyse réelle ou d’analyse complexe.

La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l’espace, puis par extension s’intéresse aux propriétés d’objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l’analyse que de l’algèbre. Les probabilités tentent de formaliser tout ce qui relève de l’aléatoire. Bien qu’anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques. Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique.

La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l’analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s’assimile à une loi d’évolution. La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l’analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ses objets d’étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l’étude elle-même est grande consommatrice d’analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.

La géométrie algébrique est l’exemple d’un domaine en un sens strict à la rencontre de l’algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d’étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d’annulation d’équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique. Simulation numérique d’un crash d’une voiture.

L’analyse numérique : domaine applicatif des mathématiques. Articles détaillés : mathématiques appliquées et mathématiques pures. L’objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d’une série d’exemples particuliers abstraits, sur lesquels s’appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d’un aspect d’une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques. En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d’interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L’évolution des domaines et de leurs objets d’étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l’analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l’optimisation mathématique.

Gauss, le prince des mathématiciens . La nature des objets mathématiques : s’ils existent par eux-mêmes, ou bien s’ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d’une démonstration ? Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ? L’origine de la connaissance mathématique : d’où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ?